Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές (8 ΕΜ)

Στοιχεία και πράξεις στον Rⁿ, ευθείες και επίπεδα στον Rⁿ. Πίνακες και πολλαπλασιασμός πινάκων, στοιχειώδεις πίνακες. Γραμμικά συστήματα: απαλοιφή Gauss και η παραγοντοποίηση PΑ=LDU. Αντίστροφοι και ανάστροφοι πίνακες, αλγόριθμος Gauss-Jordan. Συμμετρικοί πίνακες και η παραγοντοποίηση Cholesky. Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. Γραμμικά συστήματα: λύση m εξισώσεων με n αγνώστους και τάξη πίνακα. Γραμμική ανεξαρτησία, βάσεις και διάσταση. Οι 4 θεμελιώδεις υπόχωροι ενός πίνακα. Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας. Γραμμικοί μετασχηματισμοί του Rⁿ και πίνακες. Ορθογώνιοι υπόχωροι, ορθογώνιο συμπλήρωμα υπόχωρου. Προβολές και προσεγγίσεις ελάχιστων τετραγώνων. Ορθογώνιοι πίνακες, η ορθογωνιοποίηση Gramm-Schmidt και η παραγοντοποίηση A=QR. Ορίζουσα πίνακα. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, διαγώνια μορφή πίνακα, δυνάμεις πίνακα και φασματικό θεώρημα για συμμετρικούς πίνακες. Γεωμετρική ερμηνεία γραμμικών μετασχηματισμών: συντεταγμένες ως προς βάση και όμοιοι πίνακες. Τετραγωνικές μορφές σε συμμετρικούς πίνακες: θετική ορισιμότητα, πηλίκο Raleygh, ελλειψοειδή στις ν διαστάσεις.